La sucesión de Fibonacci

Damián Domingo 19 de Noviembre del 2006

Una aproximación diferente para encontrar el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci y su relación con la proporción áurea.

Introducción

Algunos seguramente ya habrán oído de este problema en sus cursos de programación para presentarles las funciones recursivas, y quizá también les hayan pedido que lo resuelvan de forma iterativa.

Les voy a presentar una forma iterativa que lo resuelve con matrices, al final se hará una observación sobre el número áureo y su relación con esta sucesión.

La sucesión

Consideremos la sucesión de Fibonacci. Ya sabemos como va:

$\\ a_1=1 \\ a_2=1\\ a_3=2 \\ a_4=3 \\ a_5=5 \\ a_6=8 \\ \vdots \\ a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$

Pues sin más complicación consideremos la matriz $\left( \begin{array}{11c1} a_n&a_{n-1} \end{array} \right)$ . Y observemos que si consideramos la matriz $\left( \begin{array}{11c1} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)$ podríamos deducir que $\left( \begin{array}{11c1} a_n&a_{n-1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{11c1} a_{n-1}&a_{n-2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{11c1} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)$ .

Si pedimos que $n > 2$ obtenemos que $\left( \begin{array}{11c1} a_n&a_{n-1} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{11c1} 1&1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{11c1} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)^{n-2}$ . Ahora podríamos obtener el n-ésimo término con multiplicaciones de matrices.

Si no saben que significa elevar una matriz cuadrada $B$ a la $n$ sólo hay que multiplicarla $n$ veces consigo misma. (i.e. $B^n=B_1 \cdot B_2 \cdots B_n$ , donde $B_i=B$ ).

El número áureo

El número áureo indica una proporción descubierta en la antigüedad al pedirle a un segmento de recta que cumpla con cierta propiedad; a partir de ese segmento se puede construir un rectángulo (llamado rectángulo áureo). El número áureo denotado por la letra griega $\Phi$ es igual a $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Esa proporción es muy mística y fascinante, fue aplicada mucho en el renacimiento (sobre todo por Da Vinci) y en el arte de la antigua Grecia; destaca que algunos patrones biológicos de crecimiento de poblaciones de bacterias siguen esta proporción.

Bueno aqui lo interesante es que la sucesión de Fibonacci es una sucesión en la cual el número áureo anda muy metido, para los algebristas lineales será fácil comprobar con lo dicho anteriormente que uno de los valores característicos de la matriz $\left( \begin{array}{11c1} 1&1 \\ 1&0 \end{array} \right)$ es exactamente $\Phi$ .

La extrema ociosidad

Para rematar con la ociosidad matemática, con esos valores característicos se puede construir un fórmula general para conocer cualquier término de la sucesión, lástima que la computadora no puede manejar irracionales nativamente.

Para cualquier $n \geq 1$ el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci está dada por la siguiente regla $a_n= \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right) ^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) ^n \right]$

Y para los amantes del análisis ahora con esto se puede demostrar que $\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \Phi$ .

General , Matemáticas

2 respuestas to “La sucesión de Fibonacci”

# victoron 26 Mar 2008 at 17:36

ola: oie,puede sonar barsa,pero tengo una presentacion de la proporcion divina en el diseño actual, y kiero entender la relacion de la sucecion de fibonacci y “pi” o una formula simple, aplicable segun un patron menos complejo y mas literal,porke no recuerdo mucho de simbologia matematica.

porfa, me ayudarias mucho…

gracias.
# Damiánon 30 Mar 2008 at 14:11

Haciendo referencia a lo último que escribí en la entrada (el límite matemático). Se puede decir, coloquialmente hablando, que el cociente de la división entre un elemento de la sucesión y su inmediato anterior se va acercando mucho a Phi conforme vas “avanzando” más en la sucesión.

Mira:

Phi = 1.61803398875…

Observa:

1 / 1 = 1.00000
2 / 1 = 2.00000
3 / 2 = 1.50000
5 / 3 = 1.66667
8 / 5 = 1.60000
13 / 8 = 1.62500
21 / 13 = 1.61538
34 / 21 = 1.61905
55 / 34 = 1.61765
89 / 55 = 1.61818
144 / 89 = 1.61798
233 / 144 = 1.61806
377 / 233 = 1.61803
610 / 377 = 1.61804
987 / 610 = 1.61803
1597 / 987 = 1.61803