El Factorial Continuo

Damián Jueves 23 de Noviembre del 2006

$fractal.jpg$ Como todos sabemos el factorial de un número está definido para números naturales, pero seguramente se habrán preguntado ¿qué pasa si yo quiero el factorial de un número real positivo? Pues…

Leonhard Euler inventó una función muy importante para el análisis llamada la “función Gamma”, usada también por los físicos y está definida como sigue:

Para $n > 0$ la función Gamma es continua y está dada por $\displaystyle \Gamma (n) = \int \limits_0^\infty t^{n-1}e^{-t} dt$ .

Cumple las siguientes propiedades:

$\Gamma (n+1) = n \cdot \Gamma (n)$ .
$\Gamma (n+1) = n!$ si $n$ es natural.
$\Gamma (2) = \Gamma (1) = 1$ .
$\Gamma(1/2) = \sqrt{ \pi }$ .

También es usada para calcular distribuciones de probabilidad, es toda una maravilla la función. Cabe mencionar que existen infinidad de funciones continuas $f(x)$ tales que $f(x+1) = x!$ para todo $x$ natural, pero ésta es muy importante en matemáticas.