¿Cómo se calcula numéricamente sen(x) o ln(x)?

Damián Sábado 15 de Diciembre del 2007

¿Nunca se han preguntado cómo es que la calculadora puede darles el valor de sen(x) o arctan(x) para todos los valores que le metan? ¿Acaso tiene una tabla de todos los valores? (Obviamente no). En este post voy a presentarles herramienta matemática interesante y reveladora, que ilustra cómo se aproximan funciones que no se pueden calcular con operaciones elementales (suma, multiplicación, división, resta).

Esta herramienta es bastante antigua, creada en los albores del siglo XVIII, y se llama Series de Taylor. Va a servir para aproximar una función a sus valores numéricos, con tanta precisión como queramos.

Primero necesitamos una función $f(x)$ , como $sen(x)$ , y necesitamos buscarle un valor conocido a esa función, una $a$ tal que sepamos cuánto vale $f(a)$ , en este caso sabemos que $sen(0) = 0$ . Esta función además debe tener con una propiedad interesante: tiene que ser infinitamente diferenciable en $a$ ; esto quiere decir que

$f'(a),f^{(2)}(a),f^{(3)}(a),\ldots,f^{(n)}(a),\ldots$

siempre son números reales. O sea, en términos coloquiales, que se puede derivar tantas veces como se quiera.

En el caso de la función $sen(x)$ , sabemos que todas sus derivadas se van alternando entre $sen(x)$ y $cos(x)$ . Así tenemos que

$sen(0)=0$
$sen'(0)=cos(0)=1$
$sen^{(2)}(0)=-sen(0)=0$
$sen^{(3)}(0)=-cos(0)=-1$
$sen^{(4)}(0)=sen(0)=0$

Observése que se vuelven a repetir los valores para la quinta derivada, así sucesivamente, esto forma un ciclo de 4.

Ya que tenemos todo lo anterior, podemos definir un polinomio de grado $n$ de esta forma

$P_{n,a,f}(x)=f(a) + \dfrac{f'(a) (x-a)}{1!} + \dfrac{f^{(2)}(a) (x-a)^2}{2!} + \cdots$
$+ \dfrac{f^{(n)}(a) (x-a)^n}{n!}$

Este se polinomio se llama polinomio de Taylor de grado n para f en a. No hay que espantarse, es simplemente sustituir cuánto valen todas las derivadas y dividirlas entre un factorial. No es tan complicado.

En el caso de $sen(x)$ , tenemos que la derivadas “pares” siempre van a dar cero, mientras que las impares alternan entre 1 y -1, por lo que para simplificar las cosas podemos calcular su polinomio de Taylor de grado impar. Recordando que los números impares son de la forma $2n+1$ , con $n$ un número natural.

El polinomio de grado impar para $f(x)=sen(x)$ en 0, sería

$P_{2n+1,0,f}(x)=\dfrac{x}{1!} - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots$
$+ (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Este polinomio también se puede ver como una vulgar suma (serie de Taylor)

$P_{2n+1,0,f}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k\dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

¿Cómo se usa esa serie para aproximarse a un valor numérico de la función?

Lo que más nos interesa para una aproximación numérica, es saber qué tan grande es la diferencia

$\vert sen(x) - P_{2n+1,0,f}(x) \vert$

porque entre más pequeña sea la diferencia mayor precisión tendremos.

Usando ciertos resultados de Lagrange, Cauchy y Taylor, se puede llegar a demostrar que

$\vert sen(x) - P_{2n+1,0,f}(x) \vert \leqslant \dfrac{\vert x \vert^{2n+2}}{(2n+2)!}$

Pero además se sabe que $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \dfrac{\vert x \vert^{2n+2}}{(2n+2)!} = 0$ , para cualquier $x$ .

Esto implica que la serie de Taylor se puede acercar tanto como queramos a la función $sen(x)$ ; nada más hay que buscar una $n$ lo suficientemente grande.

Un ejemplo

Quisieramos calcular cuanto vale $sen(3)$ , con una precisión de 12 dígitos decimales. La pregunta obligada sería ¿hasta qué $n$ tengo que sumar la serie de Taylor para obtener esa precisión?

La pregunta se puede reformular como sigue: encontrar una $n$ tal que

$\vert sen(3) - P_{2n+1,0,f}(3) \vert \leqslant 10^{-12}$

Usando el resultado del apartado anterior sabemos que

$\vert sen(3) - P_{2n+1,0,f}(3) \vert \leqslant \dfrac{3^{2n+2}}{(2n+2)!}$

Por lo que basta encontrar una $n$ , tal que

$\dfrac{3^{2n+2}}{(2n+2)!} \leqslant 10^{-12}$

En este caso con que tomemos $n=11$ bastará. Así que sólo hay que hacer la suma

$\displaystyle\sum_{k=0}^{11} (-1)^k\dfrac{3^{2k+1}}{(2k+1)!}$

para obtener $sen(3)$ con una precisión de 12 dígitos decimales.

Hay que observar que esa $n=11$ sirve para todos los valores de $x$ en el intervalo $[-3,3]$ .

¿Serviría en la práctica?

Obsérvese que en este caso, entre más alejado del cero esté $x$ , más grande va a ser la $n$ que vamos a requerir para tener alguna precisión decente. Pero no hay que preocuparse demasiado, esto se puede arreglar.

Dado que la función $sen(x)$ es periódica y tiene un periodo igual a $2\pi$ , para cualquier $x$ tenemos que $sen(x) = sen (x + k(2\pi) )$ , con $k$ cualquier entero. Además siempre podemos encontrar una $k$ tal que
$-2\pi \leqslant x + k(2\pi) \leqslant 2\pi$ .

Así reducimos el problema, sólo tendremos que hacer cálculos en un intervalo pequeño. Como se sabe que $2\pi \leqslant 6.5$ , con que tomemos $n=15$ tendremos una bonita estimación de la función seno con 9 dígitos decimales de precisión. Suficiente para armar nuestra propia calculadora científica.

En un próximo post les hablaré de polinomios de Taylor para otras funciones. Si les pareció interesante o no me expliqué bien en algún punto dejen sus comentarios.